Annexe A dérivées et intégrales : un bref survol
Bien que vous ayez déjà vu une partie de ces sujets au niveau collégial et qu'en MAT-115 il seront revus en détails, 
on peut néanmoins examiner rapidement ce que représente une dérivée ou une intégrale pour comprendre 
l'importance de ces sujets en sciences et en génie.

LA DÉRIVÉE
Considréons le problème physique suivant: on veut étudier le mouvement d'une particule (ou d'un objet)
dans une direction donnée; il s'agit d'un mouvement rectiligne.

Posons x(t): la position de l'objet au temps t. (La position de l'objet en mètres (m) et le temps est en 
secondes (s) ).

Pour étudier ce mouvement, on doit établir un référentiel, c'est-à-dire une origine et une direction 
positive.

On a ici un graphique qui représente un objet qui se 
situe un mètre à gauche de l'origine.

Soit, pour une expérience donnée, le graphique suivant qui représente la fonction x(t):

, ou t varie entre 0 et 8 secondes

La quantité x(2) - x(0) = 3 - (-1) = 4 m. représente la variation de la position pendant les 2 premières 
secondes. Si on divise ce résultat par le temps écoulé, c'est-à-dire 2 secondes, on obtient la vitesse 
moyenne = 2 m/s.

Et si on voulait la vitesse à l'instant t = 2s.? En regardant le graphique, on voit que la vitesse de l'objet a 
varié durant l'expérience. En effet, si la vitesse avait été constante à 2 m/s, on aurait eu le mouvement
suivant:

La vitesse est alors égale à la pente de la droite précédente. Si on veut connaître la vitesse à un instant
précis, on pourrait mesurer celle-ci en demandant que la vitesse arrête de varier à cet instant.


Sur le graphique précédent, la courbe pleine représente la position de l'objet en fonction du temps. À 
partir de t = 2s, la droite pointillée représente la position si la vitesse demeurait constante et égale à sa 
valeur à cet instant.

Donc, pour connâitre la valeur de la vitesse à t = 2s., il suffit d'évaluer la pente de la droite pointilée. Et 
on remarque que cette droite est tangente à la courbe en t = 2.

Finalement, pour avoir la vitesse de l'objet à un instant t0 donné, on n'a qu'à tracer la tangente à la courbe
position à cet instant t0 et calculer la pente de cette droite. Malheureusement, si on veut connaître la 
vitesse à plusieurs moments différents, ce travail peut devenir fastidieux. De plus, tracer une tangente 
peut s'avérer difficile à appliquer en pratique.

On peut cependant approximer la vitesse en t0 de la façon suivante:

choisir t1 > t0 de telle façon que t1 - t0soit très petit.

alors v(t0) =~ (x(t1)-x(t0)) / (t1-t0)

En effet, si t1 est proche de t0, alors la vitesse moyenne de t0 à t1 sera proche de la vitesse réelle à t0.