Définition de base

Phénomène aléatoire (vs phénomène déterministe)

on peut décrire ou énumérer tous les résultats

on ne peut pas dire avec exactitude lequel va se réaliser

Espace échantillonal

Énumération ou description des résultats possibles

Ω (oméga majuscule)

Exemple 1, l'espace échantillonal d'un dé est Ω = {1,2,3,4,5,6} = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6}

Exemple 2, Sexe des trois derniers bébés nés: Ω = {FFF,FFG,FGF,FGG,GFF,GGF,GFG,GGG}

Exemple 3, temps de passage (avec un câble) Ω = {x ∈ R | 0 ≤ x < 24 } = [0,24[

Évenement

A ⊆ Ω.

sous-ensemble de l'espace échantillonnal

Exemple: {2}, {1,3,5}, obtenir un impair plus gran que 5.

Un évènement qui est égal à l'ensemble vide ∅ est un évènement impossible.

Nombre de résultats

Le nombre de résultats dans l'espace échantillonnal est est noté #Ω (dièse oméga).

#A = cardinalité de A = |A|

Nombre de sous-ensembles

Le nombre de sous-ensembles est de 2^#Ω (2 à la puissance #oméga).

La probabilité de l'évènements A = P(A) = #A/#Ω (approche intuitive en comptant). L'approche empirique dit que P(F) = limite de n lorsque n devient suffisamment grand du nombre de l'évènement A sur le nombre total d'évènement.

Par exemple, une personne peut être soit un gars, soit une fille, donc une probabilité de 1/2 et 1/2. Au niveau national toutefois, le pourcentage n'est pas de 50%.

Axiomes et propriétés

Axiomes

1. P(A) ≥ 0
2. P(Ω) = 1
3. Soit A_i une partition de l'évènement A: P(∪A_i) = ∑P(A_i)
   Partition: A_i ∩ A_j = ∅, ∪A_i = A, {A_i} partition de A.

Propriétés

1. P(∅) = 0
2. Si A ⊆ B Alors P(A) ≤ P(B). [ P(B) = P((B-A)∪A) = P(A)+P(B-A) = P(A)+≥0 ]
3. P(A') = 1 - P(A) (A' est le complément de A)
4. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
   P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(A∩C) + P(A∩B∩C)
5. P(B-A) = P(B) - P(A∩B) [ B-A = B∩A' ]

A∩B = ∅

Théorie des ensembles: Ensembles mutuellement exclusifs

Probabilité: Évènements incompatibles

P(A/B)

Probabilité conditionnelle

Probabilité que se produise A sachant que B s'est produit.

P(A/B) = P(A∩B)/P(B) donc P(A∩B) = P(B)*P(B/A)

A et B sont indépendants si et seulement si

1) P(A/B) = P(A)

2) P(A∩B) = P(A)*P(B)

Exemple d'évènements indépendants: soit A = {2,4,6} et B = {3,4,5,6}. P(A) = 3/6 = 1/2. P(A/B)= P(A∩B)/P(B) = #{2,4}/#{3,4,5,6} = 2/4 = 1/2. A et B sont indépendants.

Distribution

Soit A, B, C des classes d'âges et F, H le sexe d'individus.

Le centre correspond à la distribution conjointe du sexe et de l'âge

La colonne de droite correspond à la distribution marginale de l'âge

La dernière rangée (total) correspond à la distribution marginale du sexe.

Diagramme de fiabilité

Soit un serveur A fiable à 60% et un autre serveur B fiable à 80%.

La fiabilité du système si A et B sont en série: P(A)*P(B)=60%*80%=48%.

La fiabilité du système si A et B sont en parallèle: P(A) + P(B) - P(A)*P(B)=60%+80%-60%*80%=140%-48%=92%.

Série: P(A∩B) = P(A)*P(B).

Parallèle: P(C∪D) = P(C) + P(D) - P(C∩D)