Définition de base

Phénomène aléatoire (vs phénomène déterministe)
on peut décrire ou énumérer tous les résultats
on ne peut pas dire avec exactitude lequel va se réaliser
Espace échantillonal
Énumération ou description des résultats possibles
Ω (oméga majuscule)
Exemple 1, l'espace échantillonal d'un dé est Ω = {1,2,3,4,5,6} = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6}
Exemple 2, Sexe des trois derniers bébés nés: Ω = {FFF,FFG,FGF,FGG,GFF,GGF,GFG,GGG}
Exemple 3, temps de passage (avec un câble) Ω = {x ∈ R | 0 ≤ x < 24 } = [0,24[
Évenement
A ⊆ Ω.
sous-ensemble de l'espace échantillonnal
Exemple: {2}, {1,3,5}, obtenir un impair plus gran que 5.
Un évènement qui est égal à l'ensemble vide ∅ est un évènement impossible.
Nombre de résultats
Le nombre de résultats dans l'espace échantillonnal est est noté #Ω (dièse oméga).
#A = cardinalité de A = |A|
Nombre de sous-ensembles
Le nombre de sous-ensembles est de 2 (2 à la puissance #oméga).

La probabilité de l'évènements A = P(A) = #A/#Ω (approche intuitive en comptant). L'approche empirique dit que P(F) = limite de n lorsque n devient suffisamment grand du nombre de l'évènement A sur le nombre total d'évènement.

Par exemple, une personne peut être soit un gars, soit une fille, donc une probabilité de 1/2 et 1/2. Au niveau national toutefois, le pourcentage n'est pas de 50%.

Axiomes et propriétés

Axiomes

  1. P(A) ≥ 0
  2. P(Ω) = 1
  3. Soit Ai une partition de l'évènement A: P(∪Ai) = ∑P(Ai)
    Partition: Ai ∩ Aj = ∅, ∪Ai = A, {Ai} partition de A.

Propriétés

  1. P(∅) = 0
  2. Si A ⊆ B Alors P(A) ≤ P(B). [ P(B) = P((B-A)∪A) = P(A)+P(B-A) = P(A)+≥0 ]
  3. P(A') = 1 - P(A) (A' est le complément de A)
  4. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
    P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(A∩C) + P(A∩B∩C)
  5. P(B-A) = P(B) - P(A∩B) [ B-A = B∩A' ]
A∩B = ∅
Théorie des ensembles: Ensembles mutuellement exclusifs
Probabilité: Évènements incompatibles
P(A/B)
Probabilité conditionnelle
Probabilité que se produise A sachant que B s'est produit.
P(A/B) = P(A∩B)/P(B) donc P(A∩B) = P(B)*P(B/A)
A et B sont indépendants si et seulement si
1) P(A/B) = P(A)
2) P(A∩B) = P(A)*P(B)

Exemple d'évènements indépendants: soit A = {2,4,6} et B = {3,4,5,6}. P(A) = 3/6 = 1/2. P(A/B)= P(A∩B)/P(B) = #{2,4}/#{3,4,5,6} = 2/4 = 1/2. A et B sont indépendants.

Distribution

Soit A, B, C des classes d'âges et F, H le sexe d'individus.

Distribution avec nombre
FHTotal
Total60014002000
A100200300
B200500700
C3007001000
Distribution avec proportion
FHTotal
Total0,300,701,00
A0,050,100,15
B0,100,250,35
C0,150,350,50

Le centre correspond à la distribution conjointe du sexe et de l'âge

La colonne de droite correspond à la distribution marginale de l'âge

La dernière rangée (total) correspond à la distribution marginale du sexe.

Diagramme de fiabilité

Soit un serveur A fiable à 60% et un autre serveur B fiable à 80%.

La fiabilité du système si A et B sont en série: P(A)*P(B)=60%*80%=48%.

La fiabilité du système si A et B sont en parallèle: P(A) + P(B) - P(A)*P(B)=60%+80%-60%*80%=140%-48%=92%.

Série: P(A∩B) = P(A)*P(B).

Parallèle: P(C∪D) = P(C) + P(D) - P(C∩D)