Définition de base
- Phénomène aléatoire (vs phénomène déterministe)
- on peut décrire ou énumérer tous les résultats
- on ne peut pas dire avec exactitude lequel va se réaliser
- Espace échantillonal
- Énumération ou description des résultats possibles
- Ω (oméga majuscule)
- Exemple 1, l'espace échantillonal d'un dé est Ω = {1,2,3,4,5,6} = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6}
- Exemple 2, Sexe des trois derniers bébés nés: Ω = {FFF,FFG,FGF,FGG,GFF,GGF,GFG,GGG}
- Exemple 3, temps de passage (avec un câble) Ω = {x ∈ R | 0 ≤ x < 24 } = [0,24[
- Évenement
- A ⊆ Ω.
- sous-ensemble de l'espace échantillonnal
- Exemple: {2}, {1,3,5}, obtenir un impair plus gran que 5.
- Un évènement qui est égal à l'ensemble vide ∅ est un évènement impossible.
- Nombre de résultats
- Le nombre de résultats dans l'espace échantillonnal est est noté #Ω (dièse oméga).
- #A = cardinalité de A = |A|
- Nombre de sous-ensembles
- Le nombre de sous-ensembles est de 2#Ω (2 à la puissance #oméga).
La probabilité de l'évènements A = P(A) = #A/#Ω (approche intuitive en comptant). L'approche empirique dit que P(F) = limite de n lorsque n devient suffisamment grand du nombre de l'évènement A sur le nombre total d'évènement.
Par exemple, une personne peut être soit un gars, soit une fille, donc une probabilité de 1/2 et 1/2. Au niveau national toutefois, le pourcentage n'est pas de 50%.
Axiomes et propriétés
Axiomes
- P(A) ≥ 0
- P(Ω) = 1
- Soit Ai une partition de l'évènement A: P(∪Ai) = ∑P(Ai)
Partition: Ai ∩ Aj = ∅, ∪Ai = A, {Ai} partition de A.
Propriétés
- P(∅) = 0
- Si A ⊆ B Alors P(A) ≤ P(B). [ P(B) = P((B-A)∪A) = P(A)+P(B-A) = P(A)+≥0 ]
- P(A') = 1 - P(A) (A' est le complément de A)
- P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(A∩C) + P(A∩B∩C) - P(B-A) = P(B) - P(A∩B) [ B-A = B∩A' ]
- A∩B = ∅
- Théorie des ensembles: Ensembles mutuellement exclusifs
- Probabilité: Évènements incompatibles
- P(A/B)
- Probabilité conditionnelle
- Probabilité que se produise A sachant que B s'est produit.
- P(A/B) = P(A∩B)/P(B) donc P(A∩B) = P(B)*P(B/A)
- A et B sont indépendants si et seulement si
- 1) P(A/B) = P(A)
- 2) P(A∩B) = P(A)*P(B)
Exemple d'évènements indépendants: soit A = {2,4,6} et B = {3,4,5,6}. P(A) = 3/6 = 1/2. P(A/B)= P(A∩B)/P(B) = #{2,4}/#{3,4,5,6} = 2/4 = 1/2. A et B sont indépendants.
Distribution
Soit A, B, C des classes d'âges et F, H le sexe d'individus.
F | H | Total | |
---|---|---|---|
Total | 600 | 1400 | 2000 |
A | 100 | 200 | 300 |
B | 200 | 500 | 700 |
C | 300 | 700 | 1000 |
F | H | Total | |
---|---|---|---|
Total | 0,30 | 0,70 | 1,00 |
A | 0,05 | 0,10 | 0,15 |
B | 0,10 | 0,25 | 0,35 |
C | 0,15 | 0,35 | 0,50 |
Le centre correspond à la distribution conjointe du sexe et de l'âge
La colonne de droite correspond à la distribution marginale de l'âge
La dernière rangée (total) correspond à la distribution marginale du sexe.
Diagramme de fiabilité
Soit un serveur A fiable à 60% et un autre serveur B fiable à 80%.
La fiabilité du système si A et B sont en série: P(A)*P(B)=60%*80%=48%.
La fiabilité du système si A et B sont en parallèle: P(A) + P(B) - P(A)*P(B)=60%+80%-60%*80%=140%-48%=92%.
Série: P(A∩B) = P(A)*P(B).
Parallèle: P(C∪D) = P(C) + P(D) - P(C∩D)
Dernière modification: 2004-10-31 17:46:57 par Yan Morin
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