Calcul des déterminants d'une matrice

Avant de faire le calcul, on peut se sentir paresseux et regarder si on a vraiment besoin de le faire.

Ainsi, on regarde s'il existe des lignes ou des colonnes à 0. Si ces lignes ou colonne existe, alors le déterminant est 0. Le coût pour le calculer est d'ordre n^2. Coût moins élevé que si l'on calculait vraiment le déterminant pour des énormes matrices.

On pourrait aussi regarder pour voir si notre matrice n'est pas une matrice triangulaire supérieure ou inférieure. Pour les matrices triangulaires, il suffit de multiplier la diagonale pour connaître le déterminant.

Voici une matrice triangulaire strictement supérieure: $U_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ 0& a_{22}\end{array}\right]$

Pour calculer cette matrice, on fait det(A) = a11*a22 - a12*0 = a11*a22. a11*a22 sont justement les facteurs de la diagonales.

Mais c'est bien beau pour une matrice d'ordre 2, mais qu'est-ce qui se passe lorsque c'est d'ordre 3, d'ordre n?

Voici une matrice d'ordre 3: $U_3=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]$

Si on calcule avec la première colonne (on n'est pas toujours obligé de partir de la première ligne). On obtient: $\det \left(U_3\right)=a_{11}*\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ 0& a_{33}\end{array}\right|+0*\mathrm{...}+0*\mathrm{...}=a_{11}*a_{22}*a_{33}$

Ce qui correspond à notre diagonale encore une fois. On peut généraliser en disant que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des membres de sa diagonales. Qu'arrive t'il si un membre de sa diagonale est 0? Le déterminant est 0!