De l'accélération à la vitesse, de la vitesse à la position

Soit une accélération directement proportionnel au temps. 
a = constante * t
On nomme la constante k (pour raccourcir)
a = k*t

La dérivée de la vitesse par rapport au temps est l'accélération instantannée.
  dv/dt = a
Donc
  dv/dt = k*t
ou si l'on veut
  1 * dv = k*t * dt

Si au temps (t=0), la vitesse est de 16 m/s et qu'à (t=1) la vitesse change à 15 m/s
On peut intégré les deux côtés de notre formule.
Du côté de la vitesse, elle varie de 16 à 15.
Du côté du temps, il varie de 0 à 1.


intégrale( 1, v, 16, 15) = intégrale( k*t, t, 0, 1)  // équation à la T.I.
-1 = k/2
-2 = k

Donc, notre constante k, vaut -2. Notre formule de l'accélération par rapport au temps est:
a(t) = k * t = -2 * t

Trouvons maintenant la formule de vitesse par rapport au temps.
Utilisons le même égalité (avec les deux intégrales), mais intégrons cette fois
pour la vitesse, de 16 (t=0) à v (t=t)
pour le temps, de 0 à t
Remarque: on prend l'accélération a(t) = -2 * t

La formule est:
intégrale ( 1, v, 16, vitesse ) = intégrale( -2 * t, t, 0, temps)
vitesse - 16 = -temps*temps
v(t) = -t^2 + 16


Si à t=1, la position est 20 m, alors
dx/dt = v = -t^2 + 16
dx = v * dt
intégrale(1, x, 20, position) = intégrale(-t^2 + 16, t, 1, temps)
position - 20 = -(temps^3)/3 + 16*temps - 47/3
position = -(temps^3)/3 + 16*temps + 13/3
x(t) = -(t^3)/3 + 16*t + 13/3