carré

a² = a × a

Équations et solutions

Triplet

a² + b² = c²
Côté d'un triangle rectangle - pythagore, connu des babyloniens aussi (plimpton 322 Tablets, 1800 BC)

Nombre de solution infinie dans le domaine des entiers comme: 
3² + 4² = 5² (ou multiple, par exemple, en multipliant chaque terme par 2:   6² + 8² = 10²)
5² + 12² = 13²
8² + 15² = 17²
...
4601² + 4800² = 6649²

Quelques solutions en utilisant les nombres complexes:
Prendre un point: u + vi
Au carré:  (u + vi)² = (u² - v²) + (2uv)i.
Distance: u² + v².

Solution: (u² - v², 2uv, u²+v²).

Exemple: 
Soit: (u,v) = (2, 1)
a = u²-v² = 2²-1² = 4-1 = 3
b = 2uv   = 2*2*1 = 4
c = u²+v² = 2*2+1*1 = 4+1 = 5
(a,b,c) = 3, 4, 5

Voir aussi: All possible pythagorean triples, visualized par 3Blue1Brown (2017-05-26)

Quadruplet

a² + b² + c² = d²
1² + 2² + 2² = 3²

cube

a³ = a × a × a

Triplets:
a³ + b³ ≠ c³     aucune solution possible dans le domaine des entiers

Quadruplets:
a³ + b³ + c³ = d³, plusieurs solutions dans le domaine des entiers > 0
3³ + 4³ + 5³ = 6³

puissance 4

a⁴ = a × a × a × a

Triplets:
a⁴ + b⁴ ≠ c⁴     aucune solution possible dans le domaine des entiers > 0

Quintuplets:
a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴, plusieurs solutions dans le domaine des entiers > 0
30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴

Dernier théorème de Fermat

A exposant n + B exposant n n'est jamais égale à C exposant n pour A,B,C entier supérieur à 0, et n, un entier supérieur à 2.

An + Bn ≠ Cn, pour A, B, C > 0 et n > 2

Preuve par Fermat pour le cas de n = 4 et multiple de 4 comme n = 8, n = 12, ...

Preuve du théorème en 1993 par Andrew Wiles.

Euler

A5 + B5 + C5 ≠ D5, pour A, B, C, D > 0

Conjecture d'Euler, pour une puissance n > 1, il faut la somme d'au moins n nombre pour avoir une solution.

La somme de 2 entiers à la puissance 2, donne un entier à la puissance 2.
La somme de 3 entiers à la puissance 3, donne un entier à la puissance 3.
La somme de 4 entiers à la puissance 4, donne un entier à la puissance 4.
La somme de n entiers à la puissance n, donne un entier à la puissance n.

Fausse preuve

178212 + 184112 = 192212   : faux, seulement possible lorsqu'on manque de précision (référence the simpsons)
398712 + 436512 = 447212   : faux, manque de précision... (référence the simpsons)