Somme de Fourier

Principe: Toute fonction périodique (ou finite) peut être décrire par une transformation de Fourier.

Fonction toute simple

Transformation de Fourier:
F(u) = intégrale( f(x) * e^(-j*2*PI*u*x), x, -infini, +infini)

Inverse:
F(x) = intégrale( F(u) * e^(j*2*PI*u*x), u, -infini, +infini)

où j = racine_carrée(-1)

Deux variables:
F(u,v) = intégrale(intégrale( f(x,y) * e^(-j*2*PI*(u*x+y*v)), x, -infini, +infini), y, -infini, +infini)
f(x,y) = intégrale(intégrale( F(u,v) * e^( j*2*PI*(u*x+y*v)), u, -infini, +infini), v, -infini, +infini)

Rappel, intégrale = somme de tous les réelles entre les deux bornes.
les variables qui vont de la borne inférieur à supérieur est la variable intégrée.

Nombre fini:
 Transformation de Fourier:
  F(u) = 1/M * somme( f(x) * e^(-j*2*PI*u*x/M), x, 0, M-1)
   M = nombre de variables
   f(x) = valeur à l'indice x
   u = 0 à M-1

  Si on veut faire les données F(u) de 0 à M-1, il faut faire M * M fois l'équation
  Il s'agit donc d'une matrice.
  

  DFT inverse (discrete Fourier transform)
  f(x) = somme( F(u) * e^(j*2*PI*u*x/M), x, 0, M-1)
   M = nombre de variables
   x = 0 à M-1

Euler

e^(j*theta) = cos (theta) + j*sin(theta)

cos(-theta) = cos(theta)

Euler + Fourier

Fourier:       F(u) = 1/M * somme( f(x) * e^(-j*2*PI*u*x/M), x, 0, M-1)
               e^(j*theta) = cos(theta) + j*sin(theta)
               theta = 2*PI*u*x/M
               e^(-j*2*PI*u*x/M) = cos(-2*PI*u*x/M) - j*sin(2*PI*u*x/M)
               e^(-j*2*PI*u*x/M) = cos(2*PI*u*x)/M - j*sin(2*PI*u*x/M)

Euler+Fourier: F(u) = 1/M * somme( f(x) * (cos(2*PI*u*x/M) - j*sin(2*PI*u*x/M)), x, 0, M-1)